Hace una semana, un amigo un tanto confundido, me envió el video que se encuentra en la siguiente liga. Junto con este video aparecen las preguntas: ¿es esto posible?, ¿hay truco?, ¿en dónde está el truco? En dicho video, comienzan con un rectángulo formado por piezas más pequeñas (rectángulo A). Después de cambiar las piezas de lugar, son capaces de agregar otra pieza más para formar, según parece, un rectángulo del mismo tamaño (B). Nuevamente, reacomodan las piezas, agregan una nueva y forman un nuevo rectángulo, que pareciera ser de las mismas dimensiones que el primero (C) (Figura 1).
Figura 1. Los 3 rectángulos: A, B y C
Al ver este video, recordé cuando mi abuela me decı́a “todo cabe en un jarrito, sabiéndolo acomodar”. Teniendo esto en mente, y sin querer dudar de la veracidad del dicho, mi amigo y yo analizamos el video. Aproveché para mostrarle una de las formas de cómo razonamos en Matemáticas cuando queremos determinar la veracidad de algún enunciado. Esto es justo lo que quiero platicarles y en esta ocasion sólo analizaremos si el rectángulo B tiene las mismas dimensiones que el rectángulo A.
Plan: supongamos que los dos rectángulos tienen las mismas dimensiones y haremos algunas deducciones para calcular las dimensiones de la pieza etiquetada con el número 6.
Figura 2. Los rectángulos A y B con las medidas que utilizaremos
Consideremos los rectángulos A y B, tal como aparecen en la Figura 2. Si asumimos que
tienen las mismas dimensiones, entonces de acuerdo con la figura tendrı́amos que:
Altura = a + b = c + b
Esto nos implica que entonces a = c (1)
Nuevamente, utilizando la altura tendrı́amos que:
Altura = d + c + e = d + a + f , pero como a = c (por (1)), entonces podemos concluir que:
e = f (2)
Por otro lado, de acuerdo con el video, la base del rectángulo siempre es la misma y tenemos
que:
base = g + h = h + h + i, es decir que g = h + i (3)
Figure 3. En esta figura, suponemos que g<h y superponemos la pieza 2 sobre las piezas 4 y 5.
Ahora veamos que g = h. Si g < h (Figura 3) tendrı́amos que e es mayor a f porque el lado superior de 1 va en descenso de izquierda a derecha, pero esto contradice (2). Entonces g no puede ser menor a h. Por un argumento similar, podemos concluir que h no es menor a g. La única opción que nos queda es g = h. Esto nos dice que entonces i = 0 (por 3).
Al ser i = 0, tenemos que la pieza 6 es un segmento de recta, es decir, un rectángulo que
tiene altura, pero no base. ¿Te parece que la pieza 6 del video no tiene base?
En conclusión, después de manipular las piezas la única forma en que podemos agregar una nueva pieza, es si modificamos la altura del rectángulo. Sin poner en duda la habilidad de mi abuela para acomodar cosas, esto equivale a decir que “todo cabe en un jarrito, sabiéndolo acomodar y, a veces, haciendo el jarrito más grande”.
Después de unos dı́as, mi amigo encontró el siguiente video en el que explican el truco para pasar del rectángulo A al B.
¿Te animas a analizar si el rectángulo B tiene las mismas dimensiones que el rectángulo
C?